До четвертого класса у Юрия не было возможности заниматься в хоккейной школе, поэтому, записавшись в клуб «Спартак» (Новосибирск), ему предстояло догонять сверстников. Первыми тренерами Кузнецова стали Г. В. Костылев и А. И. Ермаков. Затем его заметила главная команда города, и в 17 лет он дебютировал в составе «Сибири»